Šta su brojevi?

“Decimalni brojevni sistem je rezultat slučajnosti da je većina nas rođena sa po deset prstiju na rukama i nogama” - Aristotel

Korišćenje matematičkih simbola u bilo kom vidu (počev od cifara pa do složenih matematičkih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva razmišljanje o njenom nastanku. Uglavnom se odnosimo prema matematičkom aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku koji danas koristimo. Ova iluzija podstaknuta je i činjenicom da mi svoje prvo matematičko znanje stičemo tako rano da se toga i ne sjećamo. Štaviše, skloni smo vjerovanju da su neki od apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem) intuitivni.

Međutim, ne smije se zaboraviti da je sadašnjem stanju u ovoj oblasti prethodio dug period od oko 6000 godina postepenog razvoja matematike u kome je matematička apstrakcija dala neke od najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli. Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici ne postoji ni u jednoj drugoj nauci. Uporedo s njim došlo je do razvoja matematičke simbolike i terminologije. Nezgrapna i nejasna u početku, ona se razvila do današnjeg elegantnog i mnogo razumljivijeg oblika u procesu koji još uvek traje i predstavlja rastuće polje stalno promenljivih oblika apstraktnih pojmova.

Civilizacija i matematika su se istovremeno razvijale. Matematika je oduvjek za čovječanstvo bila velika vrijednost, a njena korist neprestano raste. Ustvari možemo reći da je matematika bila neophodna čovjeku u njegovom savladavanju prirode i formirajući njegovo mišljenje uticala je na cjelokupni ljudski razvitak.

U jednom pogledu matematika je vrlo specifična među ostalim naukama: ni jedan njen rezultat ne može zastariti daljim razvojem nauke. Jednom dokazana teorema ne može postati neistinita, samo se tokom daljeg razvoja može pokazati kao specijalan slučaj neke uopštenije istine. Matematička znanja ne podležu reviziji, njihova ukupna zaliha neprestano raste.

Brojevi

Numerički termini izražavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski um. Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vrijeme prije pisane istorije. Kao što je rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872-1970), britanski matematičar i filozof, bile su potrebne hiljade godina dok je shvaćeno da par fazana i dva dana imaju zajedničku karakteristiku.

Dugo se smatralo da je najstariji postojeći matematički artefakt od značaja egipatsko vladarsko žezlo, za koje se vjeruje da datira približno iz 3100. godine prije nove ere. Na žezlu je napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima, kojima su zabilježeni preuveličani rezultati uspješnog vojnog pohoda.

Međutim, nedavno je pronađen znatno stariji artefakt koji se takođe odnosi na brojanje.

Na ručnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranžirani prema određenim numeričkim obrascima zajedno sa komadom kvarca koji je pričvršćen za glavu ručice. Artefakt je poznat kao kost iz Išanga, a pronađen je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira iz perioda između 9000 i 6500 godina prije nove ere. Dakle, sasvim je moguće da se začeci matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, već u afričkim predjelima južno od Sahare.

Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. godine P.N.E. Na jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomoću tri zareza i tri kružića, pri čemu zarezi označavaju jedinice a kružići desetice. Zajedno sa znakom za ćup za ulje koji se nalazi pored, čitav natpis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja. Ovaj ekonomičan način pisanja, kako u računu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen.

Brojevni sistemi

Uprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 služili kao osnove nekih primitivnih brojevnih sistema, ipak su prvi značajni brojevni sistemi bili petični (osnova 5), zatim desetični i dvadesetični (osnova 20). Danas je decimalni sistem najrasprostranjeniji. Svi ovi sistemi povezani su s činjenicom da čovjek ima po pet prstiju na svakoj ruci pomoću kojih su vršena prva izračunavanja.

Neka plemena u Južnoj Americi čak i danas broje pomoću šake: "Jedan, dva, tri, četiri, šaka, šaka-i-jedan", itd. Seoski kalendari u Nemačkoj koristili su petični sistem sve do kraja osamnaestog vijeka. Maje, Asteci i Kelti imali su dvadesetični sistem, što je odgovaralo ukupnom broju prstiju na rukama i nogama, istovremeno dajući svjedočanstvo o bosonogom periodu čovječanstva.

Istog porijekla su u jeziku Grenlanđana izrazi jedan čovjek sa značenjem 20, dva čovjeka za 40, itd. U engleskom jeziku riječ digit znači cifra ali i prst, što ima porjeklo u starolatinskoj riječi digiti - prsti.

"Brojanje pomoću tijela" je defiisanje brojeva pomoću određenih dijelova ljudskog tijela, kao što su glava, oči, uši, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer, jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na sledeći način:

1 desni mali prst 12 nos
2 desni prst "prstenjak" 13 usta
3 desni srednji prst 14 lijevo uvo
4 desni kažiprst 15 lijevo rame
5 desni palac 16 lijeva obrva
6 desni ručni zglob 17 lijevi ručni zglob
7 desna obrva 18 lijevi palac
8 desno rame 19 lijevi kažiprst
9 desno uvo 20 lijevi srednji prst
10 desno oko 21 lijevi prstenjak
11 lijevo oko 22 lijevi mali prst

Kod primitivnih naroda, pa čak i nekih naprednijih, uobičajeno je da verbalno brojanje prate određeni gestovi. Na primjer, u nekim plemenima riječ "deset" često je propraćena udarcem dlana o dlan a riječ "šest" ponekad je propraćena brzim zamahom jedne ruke pored druge. Karl Meninger tvrdi da se neka afrička plemena mogu razlikovati i etnički klasifikovati na osnovu toga da li brojanje počinju lijevom ili desnom rukom, da li savijaju prste i da li okreću dlanove ka tijelu ili od tijela.

Englez R. Mejson navodi jednu šarmantnu anegdotu iz perioda II svijetskog rata. U to vrijeme djevojka iz Japana boravila je u Indiji, koja je tada bila u ratu s Japanom. Da bi se izbjegle moguće neprijatne situacije, njena prijateljica predstavila je društvu kao Kineskinju. Jedan od prisutnih Engleza bio je sumnjičav pa ju je zamolio da broji do pet na prstima, što je ona i učinila posle malo oklevanja. Na to je on uzviknuo uzbuđeno: "Da li ste vidjeli ovo? Da li ste vidjeli kako je ona to uradila? Počela je sa otvorenom šakom i savijala prste jedan za drugim. Da li ste ikada vidjeli Kineza da to radi? Nikada! Kinezi broje kao i Englezi. Počinju sa zatvorenom šakom. Ona je Japanka!" - zaključio je trijumfalno.

Najneobičniji brojevni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili računanje sa brojnom bazom 60 u kombinaciji sa desetičnim sistemom. Razlog za uvođenje šezdesetične brojne baze leži, pored ostalog, i u činjenici da broj 60 ima mnogo djelilaca (2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20 i 30), što je omogućavalo veoma jednostavno računanje sa razlomcima.

Vavilonci su prvi uveli pozicioni brojevni sistem u kome je vrijednost svake cifre određena njenim položajem: na primjer, dvije uzastopne jedinice označavale su 61. Ipak u njihovom načinu pisanja bilo je i neodređenosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za odsustvo cifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom vijeku u indijskoj matematici.

Trajan uticaj vavilonske matematike i šezdesetičnog brojevnog sistema zadržao se do današnjih dana preko podjele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podjele kruga na 360 stepeni, koje se i sada koriste.

Maje iz Centralne Amerike i Južnog Meksika su razvili dvadesetični sistem sa simbolom za nulu (vjerovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali je njihova kultura nestala prije španske invazije. Najveći broj pronađen u kodu Maja je 12 489 781 (zapisan u našoj decimalnoj notaciji).

Brojevni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U ovom sistemu svaka cifra ima vrijednost u zavisnosti od mjesta na kome se nalazi. Na primjer, u broju 53 cifra 5 označava desetice pa joj je vrijednost 5.10 = 50 dok 3 označava jedinice tako da ima vrijednost 3.1 = 3. Desetični ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje porijeklo indijskoj matematici. Prva poznata primjena ovog sistema datira iz 595. godine.